数学建模灵敏度分析解读，原来这么简单！

近期有很多小伙伴在群里问灵敏度分析是什么？每个模型都需要进行灵敏度分析吗？灵敏度分析到底怎么做？那今天我们就带大家也了解一下灵敏度分析

通过阅读历年美赛的O奖论文可以发现，大部分文章最后都会进行灵敏度的分析，或多或少，而美赛官方评审规则第（5）条也有明确要求：是否对模型进行了稳定性测试，因此灵敏度分析对赛题评奖至关重要

我们知道，在数学建模中对问题作出一些必要的假设是非常重要的，而假设一般指的是问题有一定影响的因素但没法具体的衡量或预测，因此往往将其设为常量或者不予考虑等，但很少能保证这些假设都是完全正确的。因此我们需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度。这种灵敏性分析是数学建模中的一个重要方面。具体内容与所用的建模方法有关，但也并不是对每条建设都要进行灵敏度测试，所测试的往往是不能准确测量或计算的参数。

首先讲一个经典的案例，希望对大家了解灵敏度分析有一定的帮助

案例说明：一头牛重200斤，每天增重5斤，饲料每天花费45元。牛的市场价是每斤65元，但目前行情不好，每天下降1元，求出这头牛的最佳销售时间。

这是一个很简单的单变量优化问题。求这头牛的最佳销售时间，就是求卖出价格最高的时间，为了求出这个时间，我们假设：销售时间 t，牛的重量w，牛的价格p，饲料花费 C，卖出牛的收益R，净收益P于是有，P=R-C ，其中， R=P*w，C=45t ，即得到净收益模型如下：

P=(65-t)(200+5t)-45t...... (1)

容易得出当 t=8 时，P取最大值13320元。

其实，大多数情况下，问题到这里就已划上句号。但现实生活中，稍微细心一点，我们会发现在上述模型的参数中，牛的重量，当前市场价格、每天饲料钱3个参数都是很容易测量的，即确定性较大，但牛的生长率和市场价格的下降率2个参数则不是那么好确定，例子中虽然规定了市场价格下降率r=1元/天，但实际中，每天的r都是不一样的。

于是我们会有一个疑惑——是不是对于所有的市场价格下降率，这个模型都适用？

为了消除疑惑，我们分别随便选取原下降率（1元/天）周围的几个数 r=0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2，根据公式(1)，分别得出t=15, 11, 8, 5, 3 ，得下图：

灵敏度分析，就是将市场价格下降率r作为未知参数，计算最佳卖出时间t 和r关系。这时候，将例子中的“每天下降1元”改成“每天下降 r元”，净收益模型就变成：

至此，我们已经得到了一种灵敏性关系——r-t关系，绘制 r-t关系图如下：

公式(2)和上图的意义在于——作为牛贩子，我能确定一个r-t关系，确保我在不同r下，都能确定最佳卖牛时间 t。当0<r<2.8时，最佳卖出时间就由公式(2)给出；当 r>2.8 时， t<0 ，这会导致P(t)是一个始终下降的曲线，这意味着，最佳卖牛时间为 t=0 ，也就是说，一旦市场价格下降率 r>2.8，需要当天就把牛卖掉，这时候饲养牛已经没有任何经济价值了

然而，在实际使用中，我们更多地是将这种灵敏性关系表示成相对改变量或百分比改变的形式。例如， r 的10%的下降，导致了 t 的38%的增加。如果 t 的改变量为 ，则 t  的相对改变量为 ，百分比改变量为，如果 r 改变了 ，导致 t  有  的改变量，则相对改变量的比值为与  的比值，令  ，由导数定义，有

业内，称极限值就是 t 对 r 的灵敏性，记为  。

比如，在这个例子中，有

在点 r=1 和 t=8 ，

也就是说，在点=  ，若市场价格下降率  增加 1%，则最佳卖牛时间 t 下降3.5%。

可以看出，r 改变了1%，t 仅下降3.5%，这个改变很小，这就可以说明模型较为稳定；若 r 改变了1%，t 下降了35%，那这个模型是不稳定的！

通过灵敏度分析能够验证模型的稳定性，提高论文的说服力！

灵敏性分析的成功应用通常要有较好的判断力，通常既不可能对模型中的每个参数都计算灵敏性系数，也没有这种特别的要求。我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏性分析。对灵敏性系数的解释还要依赖于参数的不确定程度。原始问题中数据的不确定程度会影响我们对答案的自信度。在这个售猪问题中，我们通常认为猪的生长率g 比价格的下降率r更可靠．如果我们观察了猪或其他类似动物在过去的生长情况，g有25%的误差会是很不寻常的，但对r的估计有25%的误差则不足为奇.

因此，灵敏度分析也是为了让自己所建的模型更具备一定的说服力。如果你建立的模型中核心参数仅仅对在某个点处可以比较好的解决问题，取其它值时，就不起作用了。那么这个模型的普适性就不强。

下面是2020国赛C题一等奖小伙伴的论文，在第五部分进行了灵敏度分析，其在进行贷款策略的计算时，事先将银行年度贷款的额度进行了限制（因为每个银行的贷款额度往往是无法准确核算的），但年度贷款总额的变动是否会对信贷策略有影响呢？作者在灵敏度分析部分分别选择了不同的信贷总额来衡量信贷策略的效果（以银行年度利润为准），结果显示银行年度利润的变动与其年度信贷总额并无明显的关系，因此可以说明模型的灵敏度较低，稳定性较强。

在建模过程中，如果发现结果随参数的改变而改变，并且变动幅度较大则说明改参数对模型的影响程度较大，不易将其作为常数处理，如果变动较小，则意味着该参数对结果影响较小，可以不予单独考虑

那在建模中，到底哪些模型或者问题会让我们做灵敏度分析呢？其实本身来说灵敏度分析并不特定针对任何模型，它针对的是模型假设，如果在你的假设中存在某些因观测条件不足、数据获取困难等因素被限定的参数，则往往需要进行灵敏度分析，及将该参数取不同的数值判断结果的变动程度

灵敏度分析常见于优化或预测类问题，在优化中经常会将决策变量前面的参数直接取值，如运费的价格、物料的成本等，但事实上价格成本等因素受市场波动很大，因此需要进行稳定性测试；而预测类问题由于对未来情况的不确定性，往往对相关指标进行限定，如死亡率、移民率等，则需要进行对其进行灵敏度的分析。

为了让大家更好的学习灵敏度分析，科研交流工作室为大家找了10篇国赛一等奖&美赛O奖的优秀论文，里面有关于灵敏度分析的内容，大家可以看一下哈

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